ВсОШ по математике 11 класс: школьный этап 13 октября 2026
Формат школьного этапа ВсОШ по математике для 11 класса, ключевые темы и пять тренировочных задач с решениями.
Коротко о работе
- Дата
- 13 октября 2026 года
- Классы
- 11
- Заданий
- 8
- Формат
- Платформа «Сириус», 2-я группа
- Варианты
- По 4 варианта на задачу
Содержание статьи
Школьный этап ВсОШ по математике для 11 класса проходит 13 октября 2026 года на платформе «Сириус». В варианте второй группы — 8 задач с четырьмя вариантами каждой; подготовку лучше строить не вокруг формул, а вокруг способов рассуждения.
Дата и формат: 11 класс, математика, 13 октября 2026 года
| Параметр | Что известно |
|---|---|
| Работа | Школьный этап ВсОШ |
| Предмет | Математика |
| Класс | 11 |
| Дата | 13 октября 2026 года |
| Платформа | «Сириус» |
| Группа | Вторая |
| Количество задач | 8 |
| Варианты | По 4 варианта для каждой задачи |
Точное время открытия и продолжительность устанавливает организатор. Проверьте расписание у учителя или на странице олимпиады перед началом работы.
Заранее подготовьте черновик, ручку и спокойное рабочее место. Если олимпиада проводится в компьютерном классе, проверьте вход на платформу и доступ к нужному разделу.
Что проверяют на школьном этапе ВсОШ по математике 11 класса
Набор рассчитан на разные разделы школьной и олимпиадной математики. В нём встречаются короткие вычислительные идеи, задачи на доказательство выбора и нестандартные геометрические конструкции.
Алгебра и тригонометрия. Нужно уверенно работать со знаками синуса и косинуса, преобразовывать рекуррентные формулы и исследовать квадратные уравнения с параметром. Важно видеть структуру, а не перебирать большие числа.
Теория чисел и многочлены. Пригодятся разложение на множители, теорема Виета, свойства натуральных корней и интерполяционная идея для многочлена четвёртой степени.
Комбинаторика. Клетчатые фигуры требуют аккуратного учёта соседних клеток. Удобны состояния столбцов, разбиение на случаи и симметрия.
Планиметрия и стереометрия. В геометрических задачах помогают координаты, площади через основание и высоту, подобие, углы между прямыми и окружностями.
Средние значения и медиана. Сначала упорядочьте числа. Затем отделите фиксированные элементы от тех, которые можно сделать минимальными или максимальными.
Полезные материалы по предмету собраны в разделе математика для 11 класса. Общие даты и новости доступны в разделе ВсОШ.
Структура работы и стратегия набора баллов
Вторая группа включает восемь номеров. По содержанию они охватывают тригонометрическое неравенство, последовательность, задачу на пять чисел, пространственную геометрию, параметрическое уравнение, раскраску клетчатого прямоугольника, планиметрию и многочлен.
| Номер | Основной тип задачи | Что делать первым |
|---|---|---|
| 1 | Знак произведения тригонометрических функций | Свести знак к промежуткам углов |
| 2 | Рекуррентная последовательность | Заменить величину на обратную |
| 3 | Среднее и медиана | Упорядочить числа и минимизировать сумму |
| 4 | Площадь в пирамиде | Ввести координаты или высоту |
| 5 | Квадратное уравнение с параметром | Использовать сумму и произведение корней |
| 6 | Независимые клетки | Описать допустимые состояния столбцов |
| 7 | Окружности и углы | Найти равные углы и касательные |
| 8 | Многочлен четвёртой степени | Рассмотреть разность двух многочленов |
Количество баллов за отдельные пункты и правила проверки зависят от регламента конкретной олимпиады. Поэтому не тратьте время на угадывание «веса» номера: сначала решайте задачи, где идея появляется быстро, а затем возвращайтесь к сложным.
Перепишите ответ в требуемом формате. Особенно внимательно проверяйте градусы, натуральность параметра, знак неравенства и отсутствие лишних корней.
Тренировочные задания уровня 11 класса
1. Тригонометрический знак
При каком наименьшем натуральном n выполняется sin((n² + 3n)°) · cos((n² + 3n)°) < 0?
Показать решение
Обозначим угол через α = (n² + 3n)°. Произведение sin α · cos α отрицательно, когда синус и косинус имеют разные знаки. Для углов от 0° до 180° это происходит после 90° и до 180°.
Проверим значения: при n = 1 получаем 4°, n = 2 — 10°, n = 3 — 18°, n = 4 — 28°, n = 5 — 40°, n = 6 — 54°. Все они меньше 90°, поэтому произведение положительно. При n = 10 угол равен 130°, но уже при n = 7 получаем 70°, при n = 8 — 88°, при n = 9 — 108°.
При n = 9 угол попадает в интервал (90°, 180°), значит произведение отрицательно. Ответ: 9.
2. Рекуррентная последовательность
Последовательность задана условиями a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 2aₙ). Найдите a₂₀.
Показать решение
Введём bₙ = 1/aₙ. Тогда
bₙ₊₁ = 1/aₙ₊₁ = (1 + 2aₙ)/aₙ = bₙ + 2.
Получается арифметическая последовательность: b₁ = 1, поэтому bₙ = 1 + 2(n − 1) = 2n − 1. Следовательно, aₙ = 1/(2n − 1), а a₂₀ = 1/39.
Ответ: 1/39.
3. Среднее арифметическое и медиана
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 12, а медиану 14. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего числа.
Показать решение
Пусть числа расположены по возрастанию: a < b < 14 < d < e. Их сумма равна 5 · 12 = 60.
Чтобы e было максимальным, первые четыре числа нужно сделать минимальными. Получаем a = 1, b = 2, третье число 14, d = 15. Тогда e = 60 − 1 − 2 − 14 − 15 = 28.
Набор 1, 2, 14, 15, 28 подходит: числа натуральные, различны, медиана равна 14. Ответ: 28.
4. Многочлен четвёртой степени
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 при n = 0, 1, 2, 3. Найдите P(1).
Показать решение
Положим t = x − 1 и введём Q(t) = P(t + 1). Многочлен Q также приведённый и имеет четвёртую степень. В условии t принимает значения 1, 2, 4, 8, а правая часть равна t³ + 1.
Значит, многочлен R(t) = Q(t) − t³ − 1 имеет четыре корня: 1, 2, 4 и 8. Его старший коэффициент равен 1, поэтому
R(t) = (t − 1)(t − 2)(t − 4)(t − 8).
Так как P(1) = Q(0), получаем Q(0) = 1 + R(0). Произведение четырёх отрицательных чисел равно 1 · 2 · 4 · 8 = 64. Поэтому P(1) = 65.
Ответ: 65.
5. Независимые клетки на доске
Сколькими способами можно выбрать ровно 3 клетки в прямоугольнике 2 × 4 так, чтобы никакие две выбранные клетки не имели общей стороны?
Показать решение
Разобьём выбор по числу клеток верхнего ряда. Если сверху выбрана одна клетка, снизу нужно выбрать две непоследовательные клетки, не находящиеся под ней.
Пары непоследовательных позиций в нижнем ряду: (1, 3), (1, 4), (2, 4). Для верхней клетки в позициях 1, 2, 3, 4 число подходящих пар равно соответственно 1, 2, 1, 1. Всего получаем 5 способов.
По симметрии ещё 5 способов возникают при двух клетках сверху и одной снизу. Случаи с тремя клетками в одном ряду невозможны: в ряду длины 4 три клетки обязательно содержат соседнюю пару. Итого 5 + 5 = 10.
Ответ: 10.
Частые ошибки на олимпиаде
Проверка только одного значения. В задачах на наименьшее натуральное число нужно убедиться, что предыдущее значение не подходит. Одного найденного примера недостаточно.
Потеря условия о различии чисел. При работе с медианой нельзя повторять элементы и менять порядок после сортировки. Сначала запишите пять чисел по возрастанию.
Неполная проверка корней. Для уравнения с параметром проверьте дискриминант, натуральность обоих корней и их различие. Формального совпадения суммы и произведения недостаточно без проверки ограничений.
Неверный подсчёт соседства. В клетчатой доске клетки с общей вершиной не считаются соседними, если в условии сказано «общая сторона». Не добавляйте диагональные контакты.
Сложная алгебра вместо короткой замены. В рекуррентных формулах часто работает обратная величина. Для многочлена полезно вычесть выражение, которое совпадает с правой частью в известных точках.
Пропуск геометрической проверки. После координатного решения проверьте, что точка лежит на нужном отрезке или прямой, а площадь не получилась отрицательной.
Как узнать результат и что делать дальше
Результат школьного этапа и порядок публикации работ сообщают организаторы олимпиады. Проверяйте личный кабинет на платформе «Сириус» и уточняйте сроки у школьного координатора. Универсального времени появления результата для всех школ здесь нет.
После проверки полезно сохранить свои записи и разобрать каждый пропуск. Даже если балл оказался ниже ожидаемого, такой разбор показывает, где не хватило техники: в вычислениях, выборе идеи или записи ответа.
Новости по школьному этапу собраны на странице математического этапа ВсОШ 2026. Для сравнения форматов других классов можно открыть тренировочные материалы по математике для 9 класса.
План подготовки после олимпиады
- В день работы восстановите ход решения по памяти. Отметьте задачи, где идея была понятна, но подвели вычисления.
- На следующий день повторите преобразование рекуррентных последовательностей, теорему Виета и базовые свойства многочленов.
- Через два дня решите по одной задаче на комбинаторику, медиану и тригонометрический знак без подсказок.
- Затем возьмите геометрический номер и оформите решение полностью: рисунок, обозначения, обоснование каждого равенства.
- Перед следующей олимпиадой проведите пробный сеанс на время, но не жертвуйте проверкой ответа.
Для точечной проверки вычислений можно использовать решение задач с ИИ, но итоговое доказательство переписывайте самостоятельно. Дополнительные материалы по предмету находятся в разделе математика: выбирайте задания, где требуется объяснить ход мысли, а не только получить число.
Обсуждение
Комментариев пока нет — будьте первым, кто задаст вопрос по этому материалу.