ВсОШ по математике 11 класс: школьный этап 13 октября 2026
Школьный этап ВсОШ по математике для 11 класса в Москве прошёл 13 октября. Подготовлены типовые задачи и понятный алгоритм самопроверки.
Коротко о работе
- Дата
- 13 октября 2026 года
- Классы
- 11 класс
- Формат
- Олимпиадная работа на площадке МЭШ
- Регион
- Москва
- Предмет
- Математика
- Этап
- Школьный этап ВсОШ
Содержание статьи
Школьный этап ВсОШ по математике для 11 класса в Москве прошёл 13 октября 2026 года. Работа проводилась на площадке МЭШ; после олимпиады полезно закрепить методы, а не просто сверять отдельные результаты.
Дата, класс и площадка
| Параметр | Что известно |
|---|---|
| Работа | Школьный этап ВсОШ |
| Предмет | Математика |
| Класс | 11 |
| Регион | Москва |
| Дата | 13 октября 2026 года |
| Площадка | МЭШ, school.mos.ru |
Для участия школьнику нужен тот способ входа, который использует школа. Точное время, продолжительность и порядок открытия работы определяет организатор площадки. Если доступ уже закрыт, сохраняйте свои черновики и восстановите ход решения по памяти: это помогает найти ошибки в методе.
Что проверяет школьный этап ВсОШ по математике 11 класса
Олимпиадная математика отличается от обычной контрольной. Здесь важно не только получить число, но и объяснить, почему перебор полный, преобразование допустимо, а найденные случаи действительно подходят.
В тренировочных материалах такого типа встречаются несколько направлений:
- алгебра с параметром — корни квадратного уравнения, условия натуральности и различия корней;
- комбинаторика — расстановка объектов на клетчатой доске без соседства;
- геометрия — углы, медианы, касательные, окружности и дополнительные построения;
- теория чисел — делимость, остатки, разбор малых делителей;
- доказательства — обоснование каждого шага вместо ответа, найденного угадыванием.
Для 11 класса особенно полезно быстро переключаться между представлениями. Параметрическое уравнение можно изучать через сумму и произведение корней, клетчатую задачу — через последовательность состояний, а геометрическую конфигурацию — через углы и подобие.
Полезный ориентир для повторения — раздел математика, 11 класс. Для общего календаря соревнований пригодится страница ВсОШ.
Формат и рабочая стратегия
Полная техническая спецификация этой московской работы — число заданий, длительность и максимальный балл — отдельно не сообщалась. Поэтому не стоит заранее переносить на неё параметры другого года или другого класса.
| Что уточнить | Где проверить |
|---|---|
| Время начала | У школьного организатора |
| Продолжительность | В инструкции к работе |
| Число задач | В открывшемся комплекте |
| Система баллов | В критериях проверки |
| Срок публикации результата | У координатора школы или платформы |
Во время олимпиады сначала просмотрите все условия. Отметьте задачи, где сразу виден первый шаг. На сложной геометрии или комбинаторике не тратьте весь запас времени в начале: запишите наблюдение, перейдите дальше и вернитесь к нему позже.
Черновик должен содержать не только вычисления. Записывайте обозначения, ограничения на параметр, проверку крайних случаев и причину, по которой перебор завершён. Именно эти записи помогают восстановить решение и подготовить апелляцию, если она предусмотрена организаторами.
Сначала решайте задачи, где ответ получается после короткой идеи. Затем переходите к доказательным пунктам. Последние минуты оставьте на проверку знаков, натуральности корней, единиц измерения и пропущенных случаев.
Тренировочные задачи для 11 класса
Условия ниже не являются копией работы. Они имитируют основные приёмы: параметризацию, независимые клетки, угловой анализ и делимость.
1. Параметр и натуральные корни
При каких натуральных значениях m уравнение x² − (m + 5)x + 2m = 0 имеет два различных натуральных корня?
Показать решение
Пусть корни равны a и b. По теореме Виета:
- a + b = m + 5;
- ab = 2m.
Из второго равенства m = ab/2. Подставим это в первое:
2a + 2b = ab + 10,
или
ab − 2a − 2b = −10.
Добавим 4:
(a − 2)(b − 2) = −6.
Перебираем целые пары множителей числа −6. Для положительных a и b подходит пара a − 2 = −1, b − 2 = 6, а также обратная ей. Получаем a = 1, b = 8.
Тогда m = ab/2 = 8/2 = 4. Проверка: уравнение имеет вид x² − 9x + 8 = 0, его корни 1 и 8. Они натуральные и различны. Ответ: m = 4.
Повторная проверка через дискриминант: при m = 4 имеем D = 9² − 4 · 8 = 49, корни (9 ± 7)/2, то есть 1 и 8.
2. Независимые клетки
В прямоугольнике 2 × 5 нужно выбрать ровно пять клеток так, чтобы никакие две выбранные клетки не имели общей стороны. Сколько существует способов?
Показать решение
В каждом столбце можно выбрать не более одной клетки: две клетки одного столбца соприкасаются сторонами. Всего столбцов пять, а выбрать нужно пять клеток. Значит, в каждом столбце выбрано ровно по одной клетке.
Обозначим верхний выбор буквой В, нижний — Н. В соседних столбцах буквы не могут совпадать, иначе выбранные клетки будут соседними по горизонтали. Поэтому последовательность обязана чередоваться.
Есть только два варианта: ВНВНВ и НВНВН. Ответ: 2.
Проверка вторым способом: выбор в первом столбце даёт 2 варианта, после него каждый следующий столбец определяется однозначно. Получаем 2 · 1 · 1 · 1 · 1 = 2.
3. Углы и биссектриса
В треугольнике ABC углы A и B равны 50° и 70° соответственно. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Найдите угол ADC.
Показать решение
Так как AD — биссектриса, угол BAD равен 50° : 2 = 25°. Точка D лежит на BC, поэтому угол ABD совпадает с углом ABC и равен 70°.
В треугольнике ABD третий угол равен 180° − 25° − 70° = 85°. Углы ADB и ADC составляют развернутый угол, значит угол ADC равен 180° − 85° = 95°.
Ответ: 95°.
Проверка через внешний угол: угол ADC равен сумме двух внутренних углов треугольника ABD, не смежных с ним: 25° + 70° = 95°. Результат совпал.
4. Делимость и остатки
Найдите все натуральные n, для которых число n + 1 является делителем числа n² + 1.
Показать решение
При делении n на n + 1 получаем остаток −1. Поэтому
n² + 1 ≡ (−1)² + 1 ≡ 2 mod (n + 1).
Условие делимости означает, что n + 1 делит 2. Поскольку n натуральный, n + 1 не меньше 2. Возможен единственный вариант n + 1 = 2, то есть n = 1.
Проверка: при n = 1 число n² + 1 равно 2, а n + 1 тоже равно 2. Делимость выполняется. Ответ: 1.
Повторная проверка без сравнений: n² + 1 = (n + 1)(n − 1) + 2. Значит, остаток при делении равен 2. Он может быть нулевым только при n + 1 = 2.
Частые ошибки и способы их избежать
Путают натуральность с неотрицательностью. Если корень равен нулю, он не подходит при обычном школьном понимании натуральных чисел. В параметрической задаче проверяйте каждый корень отдельно.
Останавливают перебор после одного случая. Найденный пример ещё не доказывает полноту. Удобно заменить перебор факторизацией, инвариантом или оценкой максимального числа объектов.
Забывают про соседство по сторонам. В клетчатых задачах диагональные клетки обычно не считаются соседними, если условие говорит только об общей стороне. Сначала выпишите точное определение.
Используют рисунок вместо доказательства. На чертеже угол может выглядеть острым, хотя по вычислению он тупой. Надёжнее вывести его через сумму углов и только потом свериться с рисунком.
Теряют ограничения после преобразования. При возведении в квадрат, делении на выражение с параметром или сокращении дроби появляются условия. Записывайте их рядом с формулой.
Не отправляйте только число, если задача требует обоснования. Минимальная проверка включает подстановку, анализ исключённых случаев и оценку того, что все варианты перебраны.
Результаты и дальнейшие действия
Результат школьного этапа зависит от проверки организаторами и применяемых критериев. Срок публикации баллов, порядок просмотра работы и правила подачи вопросов нужно уточнять у школы или координатора московской площадки. Публично установленный срок в доступной информации не указан.
После получения результата сохраните условие, черновик и собственное решение. Сравнивайте не только итоговый балл, но и потерянные шаги: неверное ограничение, неполное доказательство, арифметическую ошибку или неудачный выбор метода.
Следующий этап и проходные значения нельзя надёжно назвать без официального решения организаторов конкретного года. Проверяйте объявления школы и раздел ВсОШ по математике 2026, не смешивая информацию для разных классов.
План подготовки после 13 октября
- В день работы восстановите условия и запишите собственные решения по памяти. Не исправляйте черновик задним числом: цель — увидеть реальную ошибку.
- На следующий день разберите одну алгебраическую, одну комбинаторную и одну геометрическую задачу. Для каждой сформулируйте главный приём одним предложением.
- Через два-три дня решите похожий комплект без подсказок. Засекать время можно только после того, как понятен метод.
- В конце недели составьте список слабых мест: параметры, делимость, инварианты, углы, оформление доказательства.
Для проверки промежуточных идей можно использовать решение задач с ИИ, но не заменяйте им собственное доказательство. Сначала сформулируйте гипотезу, затем попросите проверить отдельный шаг и сравните объяснение с учебником.
Полезно вести тетрадь ошибок. На одной странице записывайте условие и неудачный ход, на другой — короткое правильное решение. Через несколько дней решите задачу заново, не открывая запись.
Перед новой олимпиадой повторите теорему Виета, свойства делимости, принцип Дирихле, чётность, работу с остатками, сумму углов и признаки равенства треугольников. Для каждой темы решите несколько задач с обязательной финальной проверкой.
Обсуждение
Комментариев пока нет — будьте первым, кто задаст вопрос по этому материалу.